Сайт П.А.Жилина

Жилин П.А. Нелинейная теория тонких стержней // Доклад на XXXIII летней школе “Актуальные проблемы механики”, Санкт-Петербург, 2005.

Я.Бернулли

Рождение обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1691 году Якоб Бернулли вывел дифференциальное уравнение равновесия каната (нити)

Рождение уравнений в частных производных. В 1742 году Жак Даламбер вывел уравнение поперечных колебаний струны

Л.Эйлер

Рождение теории ветвления решений нелинейных дифференциальных уравнений. В 1744 году Л.Эйлер решил задачу о продольном изгибе стержня, названную впоследствии Эластикой Эйлера, и положившую начало теории ветвлений решений и теории собственных значений нелинейных операторов.

Рождение новой механики и доказательство неполноты ньютоновой механики. В 1771 году Л.Эйлер впервые вывел общие уравнения равновесия стержней

Чтобы вывести уравнения (3) Л.Эйлеру понадобилось около 50 лет размышлений. При этом он совершил одно из величайших открытий в механике и физике, которое в полной мере не осознается большинством механиков и физиков вплоть до настоящего времени. А именно, он осознал, что помимо сил и моментов сил в механике фундаментальную роль играют моменты как самостоятельные сущности, не определяемые через понятие момента силы. Это означало, во-первых, необходимость введения нового фундаментального закона физики и, во-вторых, принципиальную неполноту ньютоновой механики. Это открытие Л.Эйлера имеет громадное значение во всей физике, но в полной мере ученые осознают его значение в ближайшем будущем при разработке явлений микромира, в котором второй закон динамики Эйлера играет определяющую роль. Хотя Л.Эйлер сделал решающий шаг по введению моментов, независимых от понятия момента силы, но общее определение момента было дано сравнительно недавно П.А.Жилиным, и оно еще не вошло в учебники механики.

Е.Л.Николаи

Рождение теории устойчивости неконсервативных систем. В 1927 году Е.Л.Николаи сообщил результаты анализа устойчивости равновесной конфигурации скрученного стержня и показал, что она неустойчива при любом сколь угодно малом значении крутящего момента (парадокс Николаи). Этот результат буквально шокировал ученых того времени, привыкших к понятию критических сил по Эйлеру. Тогда же П.Ф.Папкович указал, что речь идет об анализе неконсервативной системы и потому не стоит удивляться полученному результату, поскольку возможна накачка энергии в систему. Последующее развитие теории устойчивости неконсервативных систем выявило и другие удивительные факты, например, дестабилизирующую роль внутреннего трения. В докладе будет показано, что парадокс Николаи объясняется причинами, не связанными непосредственно с неконсервативностью системы. Тем не менее, теория устойчивости неконсервативных систем в настоящее время является одним из важных разделов механики.

Рождение теории симметрии в многоориентированных пространствах. В 1977 году П.А.Жилин при построении определяющих уравнений в теории стержней и оболочек обнаружил, что применение классической теории симметрии ведет к абсурдным результатам. Анализ показал, что причиной создавшегося тупика является тот факт, что в теории стержней и оболочек вводимые тензорные объекты действуют в пространствах с двумя независимыми ориентациями. Поэтому в таком пространстве существуют тензоры четырех различных типов. Классическая теория симметрии применима только к полярным тензорам, т.е. объектам, не зависящим от выбора ориентаций в пространстве. После осознания этих фактов, не составило особого труда разработать обобщенную теорию симметрии, применимую к тензорам любого типа. Следует указать, что без обобщенной теории симметрии корректное построение общей теории стержней и оболочек оказывается невозможным, а также теории микрополярных сред оказывается невозможным. Разумеется, можно обойтись и без этой теории, если материал стержня или оболочки подчиняется известным уравнениям теории упругости, что справедливо далеко не всегда. Но даже в этом частном случае возникают, строго говоря, непреодолимые проблемы.

Выше были отмечены только те факты, которые повлияли и продолжают влиять на становление теоретического фундамента современной механики и математической физики. О громадном значении теории стержней при решении актуальных проблем техники и строительства в данном докладе можно и не говорить. К сожалению, рамки доклада не позволяют рассказать о замечательных достижениях многих исследователей при решении интереснейших конкретных задач теории стержней.

Нерешенные проблемы теории стержней. В теории стержней получено немало удивительных и даже парадоксальных результатов, которые требуют ясных объяснений. Крайне слабо изучены пространственные формы движения стержней. В рамках существующей теории стержней трудно строго исследовать важные для приложений задачи совместной динамики стержней и, например, абсолютно твердых тел, поскольку эти два два раздела механики изложены на различных и трудно совместимых языках. Основным препятствием на пути преодоления всех этих трудностей является отсутствие достаточно общей нелинейной теории стержней, изложенной на удобном для приложений языке. Первая презентация такой теории является одной из целей данного доклада. Другой, не менее важной, целью доклада является обсуждение с позиций представленной теории ряда классических задач теории стержней и выявление в них новых обстоятельств, скрытых в существующих решениях. В частности, будет дано новое истолкование парадокса Николаи, основанное на полном анализе другой классической задачи об эластике Эйлера. Автор располагает решениями целого ряда новых задач, но, к сожалению, вынужден оставить их за рамками доклада.